Question

已知关于x的方程，

（1）若方程有两个正根，求：m的取值范围；

（2）若方程有两个正根，且一个比2大，一个比2小，求m的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）方法一，一元二次方程有两个正根，两根之积、之和均取正值，用韦达定理表示，再加判别式大于等于0即可；方法二，构造函数，转化为二次函数的根的分布问题，要结合二次函数图象来解。由结合二次函数图象且方程有两个正根，可知函数图象开口向下，故只需满足，解不等式组即可；（2）构造函数，由结合二次函数图象且方程有两个正根，可知函数图象开口向下，由方程有两个正根，且一个比2大，一个比2小，可得，解不等式组即可。

方法一，因为方程有两个正根，所以 ，解得或。所以，m的取值范围为。

方法二，令 ，因为 ，方程有两个正根，所以函数的图象一定开口向下，所以

，解得或。所以，m的取值范围为。

（2）令 ，因为 ，方程有两个正根，所以函数的图象一定开口向下，所以

，解得 ，所以，m的取值范围为。