Question

已知函数f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）.

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间：

（2）将f（x）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，若方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，求实数m的取值范围.

Answer

（1）函数的最小正周期为π;函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z（2）m∈[﹣2，1]

【解析】

（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论；

（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得的范围，进而可得的范围.

（1）函数f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）sin2x﹣（1+cos2x）＝2sin（2x）﹣1，

故函数的最小正周期为π.

令2kπ2x2kπ，求得kπx≤kπ，可得函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z.

（2）将f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）＝2sin（2x）﹣1＝2sin（2x）﹣1的图象.

在区间[0，]上，2x∈[，]，sin（2x）∈[，1]，f（x）∈[﹣2，1].

若方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，则m∈[﹣2，1].