Question

已知数列{a_n}中，a₁＝1且a_n﹣a_n﹣1＝3×（）^n﹣2（n≥2，n∈N*）.

（1）求数列{a_n}的通项公式：

（2）若对任意的n∈N*，不等式1≤ma_n≤5恒成立，求实数m的取值范围.

Answer

（1）an＝3﹣2×（）n﹣1（2）{m|1≤m}

【解析】

（1）由已知，根据递推公式可得，，……，，所有式子累加可得；

（2）在（1）得出的基础之上解不等式可得实数的取值范围.

（1）由已知，根据递推公式可得an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2，an﹣1﹣an﹣2＝3×（）n﹣3，…，a2﹣a1＝3×（）0，

由累加法得，当n≥2时，an﹣a1＝3×（）0+3×（）1+…+3×（）n﹣2，

代入a1＝1得，n≥2时，an＝11+2×（1﹣（）n﹣1），

又a1＝1也满足上式，故an＝3﹣2×（）n﹣1.

（2）由1≤man≤5，得1≤man＝m（3﹣2（）n﹣1）≤5.

因为3﹣2（）n﹣1＞0，

所以，

当n为奇数时，3﹣2（）n﹣1∈[1，3）；

当n为偶数时，3﹣2（）n﹣1∈（3，4]，

所以3﹣2（）n﹣1最大值为4，最小值为1.

对于任意的正整数n都有成立，

所以1≤m.

即所求实数m的取值范围是{m|1≤m}.