Question

已知点在抛物线：上．

（1）求的方程；

（2）过上的任一点（与的顶点不重合）作轴于，试求线段中点的轨迹方程；

（3）在上任取不同于点的点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求面积的最小值．

Answer

（1）（2）（3）面积的最小值为．

【解析】

（1）将点的坐标代入抛物线方程即可求解；

（2）设中点的坐标，并用坐标坐标表示点的坐标，代入抛物线方程即可，另外排除； （3）方法一，设点A的坐标，写出直线的方程，并与直线方程联立，求解点P的坐标，进而写点B坐标，判断直线AB过定点，根据与点，将分割成与，用与的面积和表示所求，进而求最值；方法二，设点A的坐标，由向量共线求点P坐标，进而求点B坐标，是上的一点，由向量共线证明直线AB过定点，根据与点，将分割成与，进而用点A、B的纵坐标表示面积，可求最值；方法三，设直线：，与抛物线方程联立，由韦达定理得点A、B的纵坐标的关系。用点B坐标表示点P的坐标，由A、C、P三点共线推出m,n的关系，进而可得直线过定点，根据与点，将分割成与，进而用点A、B的纵坐标表示面积，可求最值。

【解析】
（1）依题意，得，

所以，

从而的方程为．

（2）设线段中点的坐标为，则点的坐标为．

由点在上，得

化简得，显然，

所以线段中点的轨迹方程为．

（3）方法一：设点的坐标为，

则直线的方程为，

由解得，

即点的坐标为，

因为轴，过点在抛物线上，

所以的点坐标为．

故当时，点坐标为，点坐标为，直线过定点；…

当时，显然，

故直线的方程可为，

化简得．

因为任意，故，解得，

所以，直线也过定点．

于是，可设直线的方程为，且，，

由得，

则，，

，

所以当时，的面积最小值为．此时，易得、两点的坐标可分别为

、．

方法二：因是抛物线上不同于点的点，故可设点，

又点在直线上，故可设点，

由、、三点共线得，而，，

所以点的纵坐标为，

因此，点的坐标为．

因为轴，且点在抛物线上，所以点坐标为，

设是上的一点，则，

而，，

所以，

即，

又．

所以，

即．

整理得

因任意，故，解得，

故直线过定点．

由此可得，不妨设点在点的上方，则．

于是的面积为

．

显然，当时等号成立，故面积的最小值为，此时，易得、两点的坐标可分为、．

方法三，设直线：，则由得，

设，，则，

因为轴，所以点的纵坐标为，

又点在直线上，所以点的坐标为，

因为、、三个共线，所以，而，，

所以．

又，所以，

即．…………（*）

将、代入（*）．

得．

即．因为任意，所以．…

即，故直线过定点．

由此可得，于是的面积为

，

所以当时，的面积的最小值为．此时，易得、两点的坐标可分别为、．