Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，，平面PAB，，点E满足.

（1）证明：；

（2）求二面角A-PD-E的余弦值.

Answer

（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）由勾股定理计算出，然后求数量积得，由线面垂直可得，从而可证得平面ABCD得证线线垂直；

（2）建立如图所示的直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦值．

（1）证明：在中，

由勾股定理，得

.

因为，

所以

.

所以，所以.

因为平面PAB，平面PAB，

所以.

又因为，

所以平面ABCD.

又因为平面ABCD，

所以.

（2）由得.

所以点E是靠近点A的线段AB的三等分点.

所以.

分别以所在方向为y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则.

设平面PDE的法向量为，

由，得.

令，则；

设平面APD的法向量为，

由，得，

令，则.

设向量与的夹角为，

则.

所以二面角的余弦值为.