Question

已知函数f（x）=a﹣（a∈R）

（Ⅰ）判断函数f（x）在R上的单调性，并用单调函数的定义证明；

（Ⅱ）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)见解析（2）a=1．

【解析】

试题（1）定义域任取两个变量x1，x2，并设x1＜x2，作差f（x1）﹣f（x2），差式变形成分式，利用指数函数的单调性判断正负，进而得函数的单调性。（2）因为定义域为R，所以 ，解方程求得 。利用奇函数定义证明。

试题解析：（1）证明：函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x2∈R，设x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）==．

∵y=2x是R上的增函数，且x1＜x2，

∴2x1﹣2x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0．

即f（x1）＜f（x2），

∴函数f（x）为R上的增函数；

（2）【解析】
若函数f（x）为奇函数，

则f（0）=a﹣1=0，

∴a=1．

当a=1时，f（x）=1﹣．

∴f（﹣x）==﹣f（x），

此时f（x）为奇函数，满足题意，

∴a=1．