Question

设等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，满足，.

（1）求数列、的通项公式；

（2）记，，证明：.

Answer

（1），.（2）见解析

【解析】

（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列方程组求出和，进而可得的通项公式；由，得，可得，利用，可得的通项公式；

（2）利用数学归纳法, ①当时，左边，右边，不等式成立，②假设时成立，即，证明当时，不等式也成立.

【解析】
（1）设首项为，公差为，则，

解得，，故，

由，得，即，，所以，即，

所以，故.

（2）由（1）知，用数学归纳法：，

①当时，左边，右边，不等式成立，

②假设时成立，即，

即当时，

.

即当时，不等式也成立.

由①，②可知，不等式对任意都成立.