Question

已知抛物线：，直线截抛物线所得弦长为.

（1）求的值；

（2）若直角三角形的三个顶点在抛物线上，且直角顶点的横坐标为1，过点、分别作抛物线的切线，两切线相交于点.

①若直线经过点，求点的纵坐标；

②求的最大值及此时点的坐标.

Answer

（1）（2）①-3.②最大值见解析，

【解析】

（1）联立，求出交点，利用两点距离公式列方程求解即可；

（2）①设点，，，切线：，：，化归为二次方程的根的问题，可得直线的方程，代入点，即可得点的纵坐标；②由题设知，即，利用面积公式表示出，利用函数的性质求其最值.

【解析】
（1），解得两交点为，.

所以，.

（2）①设点，，.切线：，：，

由题设知，，

即，是方程的两根，于是，.

故直线：.又因为直线经过点，

所以，即点的纵坐标为-3；

②由题设知，即.

则，

若，令，，

若，令，，

当且仅当，时，等号成立，此时点的坐标为.