Question

如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且，，，平面底面，为的中点，为等边三角形，是棱上的一点，设（与不重合）.

（1）当时，求三棱锥的体积；

（2）若平面，求的值.

Answer

（1）；（2）1.

【解析】

（1）由已知先证明底面，即为棱锥的高，然后由是中点得到平面的距离等于，在直角梯形中计算线段长可求得的面积，从而易得所求体积．

（2）连接，交于点，则为的中点，由线面平行的性质定理可得，从而可知是的中点．

（1）易求得，，且，

因为为的中点，为等边三角形，所以，

又因为平面底面，

由面面垂直的性质定理可知底面，

因为，所以为的中点，所以到底面的距离为，等于，

所以三棱锥的体积为；

（2）连接，交于点，则为的中点，

连接，因为平面，

由线面平行的性质定理可知，则为的中点，所以.