Question

已知函数，若在区间内有且只有一个实数，使得成立，则称函数在区间内具有唯一零点.

（1）判断函数在区间内是否具有唯一零点，说明理由：

（2）已知向量，，，证明在区间内具有唯一零点.

（3）若函数在区间内具有唯一零点，求实数的取值范围.

Answer

（1）是，详见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）利用分段函数，分类讨论函数的单调性，从而得出结论；

（2）两个向量的数量积共公式以及三角恒等变换，化简的解析式，再利用正弦函数的性质得出结论；

（3）利用二次函数的性质，分类讨论，求得的范围．

（1）函数在区间内具有唯一零点，理由如下：

当时，有，且当时，有；

当时，是增函数，有，

故函数在区间内具有唯一零点.

（2）由向量，，，

所以，，

令，，解得，

所以函数在区间内具有唯一零点，使得，

故函数在区间内具有唯一零点.

（3）由函数在区间内具有唯一零点，该二次函数的对称轴为，

①当，即时，函数在区间是增函数，

只需，即，解得，

所以实数的取值范围为.

②当，即时，若使函数在区间内具有零点，

则，解得或，

所以，，

i当时，函数在区间内具有唯一零点，即，符合题意，

ii当时，若使函数在区间内具有唯一零点，只需，

即，解得，

所以实数的取值范围为或.

③当，即时，函数在区间是减函数，

当时，只需，即，解得，

当时，令，解得，

所以函数在区间上具有唯一零点，符合题意，

所以实数的取值范围为.

综上所述：实数的取值范围为.