Question

已知定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根，称为的特征根.

（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）求表达式；

（3）把函数，的最大值记作、最小值记作，令，若恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）当时，函数为奇函数：当时，函数为非奇非偶函数（2）（3）

【解析】

（1）分和讨论即可；

（2）将表达式通分，再利用韦达定理代入即可；

（3）先求出在上的最值，再分析函数的单调性，求出，然后分离参数，求出参数的范围.

（1）当时，，

所以，即为奇函数；

当时，因，，

所以，，

所以不是奇函数也不是偶函数.

（2）由题意，方程的两个实根、，

即方程的两个实根为、，，

∴，，，

∴

（3）由，则，

由（2）知方程的两个实根为、，

则当时，恒成立，所以，恒成立

∴函数在上是单调递增，

∴，

由恒成立，即恒成立，

∴恒成立，又，，则，

∴，

故的取值范围为.