Question

设函数.

（1）求出函数的定义域；

（2）若当时，在上恒正，求出的取值范围；

（3）若函数在上单调递增，求出的取值范围.

Answer

（1）当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为.

（2）； （3）

【解析】

（1）根据对数函数的性质解含参的一元二次不等式即可.

（2）由（1）确定函数的定义域，令，得出在单调递减，进而使即可.

（3）任取，满足，讨论的取值范围，研究函数的单调性即可求解.

（1）由题知且.

当时，，所以不等式解集为.

当时，，所以不等式解集为.

综上所述，当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为.

（2）当时，定义域为，令，

则在单调递减，所以.

又.

因为在上恒正，所以，即，解得.

（3）任取，满足.

二次函数的对称轴，

所以在上单调递增，即.

当时，，即，不满足题意舍去.

当，且时，，即，

所以当在上单调递增.