Question

已知是的反函数，定义：若对于给定实数，函数与）互成反函数，则称满足“和性质”，若函数与互为反函数，则称满足积性质

（1）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；

（2）求所有满足“2和性质”的一次函数.

Answer

（1）不满足，证明见详解；（2）

【解析】

（1）先求出的解析式，换元可得的解析式，将此解析式与的解析式作对比，看是否满足互为反函数.

（2）先求出的解析式，再求出的解析式，再由的解析式求出，用两种方法得到的的解析式应该相同，解方程求得满足条件的一次函数的解析式.

（1）函数的反函数是，

，

而，其反函数为，

故函数不满足“1和性质”.

（2）设函数满足“2和性质”，，

，，

而，得反函数，

由“2和性质”定义可知，对恒成立.

，即所求的一次函数.