Question

给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离等于；④抛物线的准线方程是.

（1）对于顶点在原点的抛物线：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线的方程是，并说明理由；

（2）过点的任意一条直线与交于，不同两点，试探究是否总有？请说明理由.

Answer

（1）选择条件①③;详见解析（2）总有，证明见解析

【解析】

（1）通过焦点位置可判断条件①适合，条件②不适合，通过准线方程，可判断条件④不适合，利用焦半径公式可判断条件③适合；

（2）假设总有，设直线的方程为，联立，利用韦达定理计算可得结果.

【解析】
（1）因为抛物线的焦点在轴上，所以条件①适合，条件②不适合.

又因为抛物线的准线方程为：，

所以条件④不适合题意，

当选择条件③时，，

此时适合题意，

故选择条件①③时，可得抛物线的方程是；

（2）假设总有，

由题意得直线的斜率不为，

设直线的方程为，

由得

设，

所以恒成立，，，

则，

所以，

所以，

综上所述，无论如何变化，总有.