Question

如图，在四棱锥中，平面，，，，，二面角为，为的中点，点在上，且

（1）求证：四边形为直角梯形；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）通过证明，且可得四边形为直角梯形；

（2）过点作的垂线交于点，则，，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出面和面的法向量，求出法向量的夹角即可得二面角的余弦值.

（1）证明：因为平面，，

所以

因为，且，

所以四边形为直角梯形；

（2）过点作的垂线交于点，则，，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

由（1）知，又，则为二面角的平面角，则，，

所以，，

所以，，，

所以，

，

设平面的法向量，则，即

令：，则，，所以，

又平面的法向量，

所以，

由题意知二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.