Question

已知椭圆，为坐标原点，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，，依次成等比数列，其离心率为.过点的动直线与椭圆相交于、两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当时，求直线的方程；

（3）在平面直角坐标系中，若存在与点不同的点，使得成立，求点的坐标.

Answer

（1）（2）直线的方程为或（3）点坐标为

【解析】

（1）根据条件列关于的方程组，解方程组即可得结果；

（2）验证当直线的斜率不存在时的情况，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，先利用弦长公式求出，列方程求出，进而可得直线的方程；

（3）验证当直线与轴平行和垂直时的情况，直线的斜率存在时，可设直线的方程为，利用（2）中所求，利用韦达定理得到，，三点共线，进而可得成立，点坐标也可求出.

解（1）由题意知，

解得，，

所以椭圆的标准方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，，不符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立，得，

其判别式，

设、坐标分别为，，

则，，

所以，

整理得，解得或，

所以或，

综上，直线的方程为或；

（3）因为存在点，使，

即，

①当直线与轴平行时，此时，

所以点在轴上，可设点坐标为；

当直线与轴垂直时，则，的坐标分别为，，

由，得，解得或，

因为不同于点，则点坐标只能为；

②下面证明，对任意直线，均有点，使成立，

当直线斜率不存在时，由上知，结论成立；

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，

由（2）中式得，

，，

所以，

易知，点关于轴对称的点的坐标为，

又因为，

，

所以，即，，三点共线，

所以，

即成立，

所以点坐标为.