Question

如图，直四棱柱中，，，，，为棱的中点.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的大小.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据题意可知和为直角三角形，再由已知边长可求DB和BC长，最后利用定义证明线面垂直；（2）因为是直四棱柱，可以建立空间坐标系，以D为坐标原点，先将已知的点的空间坐标表示出来，由（1）可知平面的法向量是向量，求出和平面的法向量，再由可求得二面角。

（1）证明：由题意，

因为，所以

又因为直四棱柱，所以；

所以平面BDE.

又因为所以平面

（2）如图建立空间直角坐标系.

则有，

.

分设平面的法向量为，

令，则

由（1）可知，平面的一个法向量即

由于二面角为钝角，故二面角的大小为

（或写成）.