Question

如图，由半圆和部分抛物线合成的曲线称为“羽毛球开线”，曲线与轴有两个焦点，且经过点

(1)求的值；

(2)设为曲线上的动点，求的最小值；

(3)过且斜率为的直线与“羽毛球形线”相交于点三点，问是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）；（2）；（3）存在，且，详见解析

【解析】

（1）将代入求出，再由与轴交点坐标，代入圆的方程，即可求出；

（2）先设，得到，分别讨论，和两种情况，由抛物线与圆的方程，即可求出结果；

（3）先由题意得到的方程，与抛物线联立，求出；与圆联立，求出，根据得到，化简得到关于的方程，求解，即可得出结果.

（1）由题意，将代入，得到；所以抛物线；

又与轴交于，所以，代入圆的方程，可得；

所以，；

（2）设，因为，则，

当时，，所以，

所以时，；

当时，，，

所以时，；

而，所以的最小值为；

（3）由题意，可得：的方程为，

由，整理得：，

解得或，即；

由，整理得：

解得：或，则，

由，可得，

即，整理得，解得（由题意，负值舍去）

因此，存在实数，使得.