Question

已知数列满足：，，.

（1）求的值；

（2）设，求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；

（3）对任意的，，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列：若不存在，请说明理由.

Answer

（1），，；（2）证明见解析，（3）存在；在数列中，这连续的项就构成一个等差数列；证明见解析

【解析】

（1）2,4为偶数，代入，可得，同理3,5代入，可得；（2）根据等式，分别表示出和，，由于是偶数，故用到部分，那么整理化简，可证得是等比数列，再令n=1可求出，进而得出通项公式；（3）先观察数列的前7项，进而猜得这连续的项就构成一个等差数列，然后用数学归纳法证明。

（1）因为，所以，，

；

（2）由题意，对于任意的正整数，，所以

又所以.

又

所以是首项为2，公比为2的等比数列，

所以

（3）存在，事实上，对任意的，，在数列中，

这连续的项就构成一个等差数列

我们先用数学归纳法证明：

“对任意的，，，，有”

1）时，，，命题成立

2）假设时命题成立，则时，对任意，

（1）当为奇数时，

（用到归纳假设）

.

（2）当为偶数时，

（用到归纳假设）

由（1）（2）可知，命题对也成立；

综合1）2）可得：“对任童的，，有”

对任意的，，

，其中，

所以

所以这连续的项，是首项为，公差为的等差数列.