Question

设n是一个正整数，定义n个实数a₁，a₂，…，a_n的算术平均值为.设集合 M={1，2，3，…，2015}，对 M的任一非空子集 Z，令α_z表示 Z中最大数与最小数之和，那么所有这样的α_z的算术平均值为______.

Answer

2016

【解析】

分别讨论1，2，…，2015为最小值和最大值的集合的个数，再运用等比数列的求和公式求和，最后由集合的非空子集的个数和均值的定义，计算即可得到所求值.

以1为最小值的集合有22014个，以2为最小值的集合有22013个，

以2015为最小值的有20个，

则所有M的非空子集的最小值的和为1×22014+2×22013+…+2015×20；

同理，所有M的非空子集的最大值的和为2015×22014+2014×22013+…+1×20.

故所有这样的的和为2016×（22014+22013+…+20）=2016×=2016×（22015﹣1）.

则所有这样的的算术平均值为=2016.

故答案为：2016.