Question

称正整数集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），与两数中至少有一个属于A.

（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质 P；

（2）设正整数集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质 P.证明：对任意1≤i≤n（i∈N^*），a_i都是a_n的因数；

（3）求a_n=30时n的最大值.

Answer

（1）{1，3，6}不具有，{1，3，4，12}具有；（2）证明见解析；（3）8

【解析】

(1)根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A，验证两集合集{1，3，6}与{1，3，4，12}中的任何两个元素的积、商是否为该集合中的元素；(2)运用反证法，结合A具有性质P，即可得证;(3)运用30的质因数分解，结合组合的知识，即可得到n的最大值.

（1）由于3×6与均不属于数集{1，3，6}，∴数集{1，3，6} 不具有性质P；

由于1×3，1×4，1×12，3×4，，都属于数集{1，2，3，6}，

∴数集{1，3，4，12} 具有性质P.

（2）证明：设正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P，

即有对任意的i，j（1≤i≤j≤n），与两数中至少有一个属于A.

运用反证法证明.假设存在一个数ai不是an的因数，

即有aian与或，都不属于A，这与条件A具有性质P矛盾.

故假设不成立.

则对任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因数；

（3）由（2）可知，均为的因数，

由于30=2×3×5，由组合的知识可知2，3，5都有选与不选2种可能.

共有2×2×2=8种，即n的最大值为8.