Question

已知双曲线的焦点在轴上，虚轴长为4，且与双曲线有相同渐近线.

（1）求双曲线的方程.

（2）过点的直线与双曲线的异支相交于两点，若，求直线的方程.

Answer

（1）（2）或

【解析】

（1）根据有相同的渐近线可设所求双曲线为，再利用焦点位置及虚轴长即可求出双曲线方程（2）根据题意知直线不能为x轴，设直线方程为，联立双曲线方程，根据直线与双曲线的位置关系及三角形面积公式可求出m,写出直线方程即可.

（1）与双曲线有相同渐近线，

设所求双曲线为，

即，

焦点在轴上，虚轴长为4，

，解得，

故双曲线的方程为

（2）由题意知直线斜率不为0，

设直线方程为，

联立,

消元得：，

直线与双曲线的异支相交于两点，

，

设，

则，

且，即，

，

，

，

，

,

化简得：，

，

令,

则，

得：或，

由，即知，不符合题意，

，即

解得：，

此时满足，,

故所求直线方程为或.