Question

设或，，若是的充分条件．

（1）求证：函数的图像总在直线的下方；

（2）是否存在实数，使得不等式对一切实数恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）不存在.详见解析

【解析】

（1）由是的充分条件可得，构造函数，判断其是一个开口向下的二次函数，且图象与轴无交点，从而可得出结论；

（2）由（1）可知恒成立，只需满足恒成立即可，即恒成立，而函数是一个开口向下的二次函数，故不存在实数满足条件．

（1）证：∵是的充分条件，∴，∴，

∵，

①当时，，∴，

②当时，，且，

∵，∴，

∴函数的图象与轴无交点，即恒成立，∴，

综上：函数的图像总在直线的下方；

（2）【解析】
由（1）可知恒成立，

∴只需满足恒成立即可，

即要满足恒成立，

而，则，则函数是一个开口向下的二次函数，不可能满足恒成立，

∴不存在实数满足题意．