Question

如图所示，在△ABC中，，AD是∠BAC的平分线，且.

（1）求k的取值范围；

（2）若，求k为何值时，BC最短.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）（方法一）利用正弦定理在△ABC和△ACD中分别建立等式,通过整理便可得到k关于角的关系式；

（方法二）AD将△ABC一分为二,即以AD为界将△ABC分成两个三角形,通过面积相等建立等式；

（方法三）利用余弦定理在△ABC和△ACD中分别建立等式,通过整理便可得到k关于角的关系式；

（2）在,由余弦定理可得,根据三角形面积公式可得,则,记,则,可整理为,进而求得满足最值的条件即可

（1）方法一：由AD是∠BAC的平分线,可得,则,

在△ABC中,由正弦定理得①,

在△ACD中,由正弦定理得②,

由①②得,

又,,

所以,则,

因为,所以

方法二：由,

得,

又,,整理得,

因为,所以

方法三：在△ADC中,,

在△ABD中,,

又,则,

解得,

因为,所以

（2）由余弦定理得,

因为,所以,即,

故,

记,则,

（其中）,

故当时,y取得最小值3,此时,

又由（1）知,

而,

则,故,

即当时,BC最短