Question

在平面四边形ABCD中， AB＝2，BD＝，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2．

(1)求AD的长；

(2)求△CBD的面积．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）利用面积公式可以求出sin∠ABD的值，利用同角三角函数的关系求出cos∠ABD的值，利用余弦定理，求出AD的长；

（2）利用AB⊥BC，可以求出以sin∠CBD的大小，利用∠BCD＝2∠ABD，可求出sin∠BCD

的大小，通过角之间的关系可以得到所以△CBD为等腰三角形，利用正弦定理，可求出CD的大小，最后利用面积公式求出△CBD的面积．

(1)由已知＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，

可得sin∠ABD＝，又∠ABD∈，所以cos∠ABD＝，

在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，

可得AD2＝5，所以AD＝.

(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝，

又∠BCD＝2∠ABD，所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，

∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD，

所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD，在△CBD中，由正弦定理，得CD，

所以.