Question

已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；

（3）在区间[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据题意，设，根据，求得，即可得到函数的解析式；

（2）由函数在区间上不单调，利用二次函数的性质，得到，即可求解；

（3）把区间上，的图象恒在的图象上方，转化为不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解.

（1）由题意，函数是二次函数，且，可得函数对称轴为，

又由最小值为1，可设，

又，即，解得，

所以函数的解析式为.

（2）由（1）函数的对称轴为，

要使在区间上不单调，则满足，解得，

即实数的取值范围是.

（3）由在区间上，的图象恒在的图象上方，

可得在区间上恒成立，

化简得在区间上恒成立，

设函数，

则在区间上单调递减

∴在区间上的最小值为，

∴.