Question

判断下列命题的真假.

（1）过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；

（2）过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；

（3）给定两个平行平面中一个平面内的一条直线，则在另一个平面内有且只有一条直线与这条直线平行.

Answer

（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题.

【解析】

根据面面平行的判定定理知过平面外可作出一个平面平行已知平面，用反证法证明只有一个平面满足，可判断（1）的真假；根据直线与平面的位置关系，判断（2）的真假；根据面面平行的性质定理，可判断（3）的真假.

（1）设平面，点，在平面作两条相交的直线，

过点作两直线，使得，则确定平面，

，，，同理，，所以.

假设还存在一个平面，

则有，与存在公共点矛盾，故假设不成立，

即满足条件的平面有且只有一个，所以（1）为真命题；

（2）若直线与平面相交，则过这条直线不存在平面与这个平面平行，所以（2）是假命题；

（3）给定两个平行平面中一个平面内的一条直线，根据面面平行性质定理和平行线的传递性，则在另一个平面内有无数条直线与这条直线平行，所以（3）是假命题.

综上:（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题.