Question

如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中，，，矩形ABEF可沿AB任意翻折.

（1）求证：当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面ADF.

（2）“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总与线段FD平行”这个结论正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）这个结论不正确.要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点，理由见解析

【解析】

（1）在平面图形中，连接MN与AB交于点G，在平面图形中可证，当点F，A，D不共线时，，，可证平面ADF，平面ADF，从而有平面平面ADF，即可证明结论；

（2）这个结论不正确.要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.

当点F，A，D共线时，由（1）得；当点F，A，D不共线时，平面平面FDA，则要使，满足FD与AN共面，只要FM与DN相交即可，可证交点只能为点B，得出只有M，N分别为AE，DB的中点才满足.

（1）证明：在平面图形中，连接MN，与AB交于点G.

∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，，

∴且，

∴四边形ADBE是平行四边形，∴.

又，∴四边形ADNM是平行四边形，∴.

当点F，A，D不共线时，如图，，，

平面，平面，所以平面ADF，

同理平面ADF，又，

平面，∴平面平面ADF.

又平面GNM，∴平面ADF.

故当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FA D.

（2）【解析】
这个结论不正确.

要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.理由如下：

当点F，A，D共线时，由（1）得.

当点F，A，D不共线时，如图，

由（1）知平面平面FDA，则要使总成立，

根据面面平行的性质定理，只要FD与共面即可.

若要使FD与共面，连接FM，只要FM与DN相交即可，

∵平面ABEF，平面ABCD，

平面平面，

∴若FM与DN相交，则交点只能为点B，

由于四边形为平行四边形，与的交点为的中点，

则只有M，N分别为AE，DB的中点才满足.

由，

可知它们确定一个平面，即F，D，N，M四点共面.

∵平面平面，

平面平面，

平面平面FDA，∴.