Question

设函数f（x）=3ax²﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）

（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c²﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；

（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？

Answer

（1）0＜c＜1, （2）有，一个或两个，理由见解析

【解析】

（1）由题意可得：二次函数的对称轴为，由条件可得：，所以，进而得到在区间[1，+∞）是增函数，求出函数的最小值，即可得到答案．

（2）二次函数的对称轴是，讨论，，而

，根据根的存在性定理即可得到答案．

(1 )因为二次函数的图象的对称轴，

因为由条件，得，

所以，

所以二次函数的对称轴在区间的左边，且抛物线的开口向上，

所以在区间是增函数.

所以，

因为，对恒成立,

所以，

所以；

(2)①若，

则或，此时二次函数)在内只有一个零点；

②若，

则.

因为二次函数图象的对称轴是，

因为，

而，

所以函数在区间和内分别存有一零点，

故函数在区间内有两个零点.

③若，，

所以在区间内存在一个零点；

④若，

则,，，

所以在区间 内有零点.