Question

已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使函数成立；

（1）请给出一个的值，使函数

（2）函数是否是集合M中的元素？若是，请求出所有组成的集合；若不是，请说明理由；

（3）设函数,求实数a的取值范围.

Answer

（1）=2；（2）是，（3）或

【解析】

（1）利用列不等式，由此求得的一个取值.

（2）假设存在符合题意，验证，由此判断出的所有可能取值.

（3）利用列不等式，对分成三种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.

（1）当时，依题意在定义域内存在，使函数成立，而，即，即，故可取，此时.

（2）假设存在符合题意，而，即，即，化简得，解得.所以函数是集合M中的元素，且.

（3）由于函数，，由，得①，.

当时，①成立.

当时，①的左边为负数，右边为正数，即①成立.

当时，①可化为，也即存在，使②成立.

当时，显然存在，使②成立；

当时，②化为,显然存在，使②成立.

当，即时，不等式对应的一元二次方程，开口向下，且判别式，由于，所以，所以不存在，使②成立.

综上所述，实数的取值范围是或.