Question

已数列的各项均为正整数，且满足，又.

（1）求的值，猜想的通项公式并用数学归纳法证明；

（2）设，求的值；

（3）设，是否存在最大的整数，使得对任意，均有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）；

【解析】

（1）由结合递推公式求出，以此类推求出猜测，用数学归纳法证明；

（2）由（1），求出，按数列极限运算法则，即可求解；

（3）求出，且，为递增数列，求出最小值，即可求出结论.

（1），当时，

，解得或（舍去），

同理可得，猜想，

用数学归纳法证明如下：

①当时，通项成立；

②假设时成立，即，那么

，

所以时通项成立，根据①②可得；

（2）由（1）得

，

当，

；

（3），

为递增数列，

故的最小值为.

假设满足条件整数存在，使得对任意，，

只需，所以满足条件的最大整数为7.