Question

如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且

（1）证明：平面平面；

（2）求棱与所成的角的大小；

（3）若点为的中点，并求出二面角的平面角的余弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

试题（1）因为顶点在在底面上的的射影恰好为得到，又，利用线面垂直的判定定理可得平面平面；（2）建立空间直角坐标系，求出，，利用向量的数量积公式求出棱与所成的角的大小；（3）求出平面的法向量，而平面的法向量，利用向量的数列积公式求解二面角的余弦值．

试题解析：（1）证明：，，又，，，

，．

（2）以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

，，

，

故与棱所成的角是．

（3）因为为棱的中点，故易求得．设平面的法向量为，

则，由，得，令，则，

而平面的法向量．则．

由图可知二面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值是．