Question

已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，点是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交椭圆于、两点，过点作直线的垂线交圆:于另一点.若的面积为3，求直线的斜率.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）由题意可知：当为的短轴顶点时，面积取最大值，又离心率为，则可以列出方程，解出的值即可求出椭圆的方程.（2）首先讨论两条直线中斜率为0和斜率不存在的情况，判断三角形的面积是否为3；然后讨论一般情况，设直线的方程为，直线的方程为，分别与椭圆和圆联立，用K表示出线段AB的长和点N到直线的距离，表示出的面积，即可求出斜率的值.

【解析】
（1）∵椭圆的离心率为，当为的短轴顶点时，

的面积有最大值.

∴,解得，

故椭圆的方程为：.

（2）若的斜率为0，则，，

∴的面积为，不合题意，所以直线的斜率不为0.

设直线的方程为，

由消去得，

设，，

则，，

∴.

直线的方程为，即，

∴.

∴的面积，

解得，即直线的斜率为.