Question

设函数，，其中,是自然对数的底数.

（1）设，当时，求的最小值；

（2）证明：当，时，总存在两条直线与曲线与都相切；

（3）当时，证明：.

Answer

（1）最小值（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

（1）求出的解析式，求导求单调性，然后则可求出最小值.（2）总存在两条直线与曲线与都相切，及与永远都存在两条公切线，分别设出切点求出切线方程，根据切线方程为同一条，列出方程组求解，证明等式恒成立即可. （3）即证明当时，.令，求导求令的最小值大于0即可.

【解析】
（1），，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

故时，取得最小值.

（2）∵，

∴在点处的切线方程为；

∵，

∴在点处的切线方程为.

由题意得，则.

令，则，

由（1）得时，单调递增，又，时，，

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

由（1）得，

又，

，所以函数在和内各有一个零点，

故当时，总存在两条直线与曲线与都相切.

（3）.

令，以下证明当时，的最小值大于0.

求导得.

①当时，，；

②当时，，

令，，

又，取且使，即，

则，

∵,故存在唯一零点，

即有唯一的极值点且为极小值点，又，

且，即，故，

∵，故是上的减函数.

∴,所以.

综上，当时，.