Question

已知四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，点，分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）若与平面所成角的余弦值等于，求的长.

Answer

（1）证明见解析，（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，，可得，，进而，，所以四边形是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求证.

（2）取的中点，根据勾股定理和线面垂直的判定定理可得平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出线面角.

（1）取的中点，连接，，

∵，分别为，的中点，

∴，，

∵为矩形，∴，，

∴四边形是平行四边形，

∴，平面，

又∵平面，∴平面.

（2）取的中点，

∵，∴，，

∵平面平面，平面平面，

∴平面，

建立如图坐标系，

设，则，，，，

∴，，

∴平面的法向量，，

若与平面所成角为，

∴，∴.