Question

数列是公比为正数的等比数列，，；数列前项和为，满足，.

（1）求，及数列，的通项公式；

（2）求.

Answer

（1），，，，，，（2），

【解析】

（1）方法一：（数列定义）易知，可得，故，；，，，则，，两式相减得，则，，同理两式相减得，，则为等差数列，故，.

（1）方法二：（数学归纳法）

同方法一，猜想，，然后再利用数学归纳法证明.

（2）方法一：利用错位相减法求和，由（1）可知，，则，两式相减整理得， ，.

（2）方法二：利用裂项求和，由（1）可知，注意到，再采用裂项相消法求和.

（1）方法一：（数列定义）

易知，解得或，又公比为正数，则，故，；，，，则，，两式相减得，则，，同理两式相减得，（注：，也符合），则为等差数列，故，.

（1）方法二：（数学归纳法）

易知，解得或，又公比为正数，则，故，；，，猜想，，用数学归纳法证明.

①当时，成立；

②假设当时，成立，

当时，，则，即，故当时，结论也成立.由①②可知，对于任意的，均成立.

（2）方法一：（错位相减法求和）

由（1）可知，，

则，两式相减整理得，

，.

（2）方法二：（裂项求和）

由（1）可知，注意到，

故，.