Question

已知函数，其中是自然对数的底数，是函数的导数.

（1）若是上的单调函数，求的值；

（2）当时，求证：若，且，则.

Answer

（1），（2）证明见解析

【解析】

（1）对求导，可得，令则恒成立，由于，所以，即可求出结果.

（2）方法一：利用消元求导，由题意可得，

令，，不妨设，，

令，

原题即证明当时，，利用导数在不等式中应用，即可求出结果.

方法二：利用切线放缩法，化解过程同方法一，原题即证明当时，，，注意到，求出在处的切线方程为.下面证明恒成立（）；令，然后再利用导数在不等式中应用，和不等式放缩即可证明结果.

（1），，由题意恒成立，由于，所以，解得.

方法一：消元求导死算

（2），

令，，不妨设，，

令，

原题即证明当时，，

，其中

，因为，所以当时，，得证.

方法二：切线放缩

化解过程同上，原题即证明当时，，，注意到，求出在处的切线方程，则，即，则：切线方程为.下面证明恒成立（）；令，则，得在恒成立，故在（）上单调递增，恒成立，故恒成立，同理可证始终位于在处的切线的上方，即：（实际上与关于轴对称），故恒成立，原不等式得证.