Question

已知函数，．

（1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；

（2）当时，若对任意的、，恒成立，求实数的取值范围；

（3）若函数在上的值城为区间，是否存在常数，使得区间的长度为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（注：区间的长度为）．

Answer

（1）；（2）；（3）存在常数或满足题意.

【解析】

（1）求出函数的对称轴，得到函数的单调性，建立关于的不等式组，解出即可；

（2）依题意，函数在上的最大值小于等于函数在上的最小值，此时可以分离变量，也可以直接求解；

（3）通过讨论的范围，结合函数的单调性以及、的值，得到关于的方程，解出即可．

（1）由题意得，函数的对称轴为，

故函数在区间上为增函数，

函数在区间上存在零点，

，即，解得，故实数的取值范围为；

（2）依题意，函数在上的最大值小于等于函数在上的最小值，

当时，，

易知，函数在上的最大值为.

法一：当时，函数在上为增函数，

则，符合题意；

当时，函数在上为减函数，

则，解得.

综上，实数的取值范围为；

法二：依题意，对任意都成立，

，，则，

当时，则有，显然成立；

当时，则对任意都成立，

则函数为增函数，故，即.

综上，实数的取值范围为；

（3）依题意，解得.

①当时，当时，，，即，，即，

解得；

②当时，当时，，，

，，解得；

③当时，当时，，，

，，解得，不符合，舍去；

综上，存在常数或满足题意.