Question

已知函数.

（1）设是的反函数.当时，解不等式；

（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）或；（3）.

【解析】

（1）先由，得到，求出其反函数，解对应不等式，即可得出结果；

（2）先由得到，分别讨论和两种情况，即可得出结果；

（3）根据复合函数单调性，得到在区间上单调递减，求出其最值，根据题意，得到，推出对任意的恒成立，令，求出的最大值，即可得出结果.

（1）当时，，由得，所以，

因为是的反函数，

所以，，

由得，所以：，解得：，

即不等式的解集为；

（2）方程即，

所以，

①，则，经过验证，满足关于的方程的解集中恰好有一个元素；

②时，（i）若，解得，代入，解得，经过验证，满足关于的方程的解集中恰好有一个元素；

（ii）若，则；

当时，由解得：或，即方程的解要在范围内，

解方程得，因为，

所以为使关于的方程的解集中恰好有一个元素，

只需，即，显然不成立；

当时，由解得：，即方程的解要在范围内，

解方程得，因为，所以，，且，

因此只需，即，

即，解得：，与矛盾，也不满足题意；

综上，实数的值为或；

（3）由对数函数的单调性可得单调递增，根据幂函数单调性可得在上单调递减，因为，，

所以，根据复合函数单调性，可得在区间上单调递减，

因此，，

又函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，

所以，

即，整理得，即对任意的恒成立，

令，，

任取，则

，

因为，所以，，，

因此，即；

所以在上单调递减，

所以，

因此，只需.

故的取值范围为.