Question

已知函数的定义域是，且，，当时，.

（1）判断的奇偶性，并说明理由；

（2）求在区间上的解析式；

（3）是否存在整数，使得当时，不等式有解？证明你的结论.

Answer

（1）奇函数，理由见详解；（2）；（3）；证明过程见详解.

【解析】

（1）根据得到，再由推出，根据函数奇偶性的概念，即可得出结果；

（2）令，则，根据题中条件，得到，求出；得到，再由函数周期性，即可得出结果；

（3）先将不等式化为，得到要使时，不等式有解，只需不等式在上有解即可，令，根据二次函数的性质，分别讨论，，三种情况，即可得出结果.

（1）因为函数的定义域是，关于原点对称；

由得，即函数由为周期，

所以，

由得，

所以函数是奇函数；

（2）当时，，因为时，，

所以，又，所以；

当时，，所以；

因此由（1）可得：；

（3）由（2）可得，不等式可化为，

即；

因此，要使时，不等式有解，

只需不等式在上有解即可，

令，

当，即时，函数在单调递减，

所以只需，解得，

所以，又为整数，所以舍去；

当，即时，函数在单调递增，

所以只需，

解得：，所以，又为整数，所以；

当，即时，取不到整数，不满足题意，故舍去；

综上，存在整数，使得当时，不等式有解.