Question

摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.

（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；

（2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；

（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.

Answer

（1），（2）游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m（3）甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m

【解析】

（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，座舱转动的角速度约为，计算得到答案.

（2）将数据代入解析式计算得到答案.

（3）计算，，相减得到

，计算最值得到答案.

（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，

设时，游客甲位于点，以OP为终边的角为；

根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为，

由题意可得，.

（2）当时，.

所以游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m.

（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则.

经过tmin后甲距离地面的高度为，

点B相对于点A始终落后，

此时乙距离地面的高度为.

则甲、乙距离地面的高度差，

利用，

可得，.

当，即（或228）时，h的最大值为.

所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m.