Question

设函数的定义域为，若存在非零实数满足对任意，均有，且，则称为上的高调函数. 如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的8高调函数，那么实数的取值范围为____.

Answer

【解析】

由已知求得分段函数f（x）的解析式，然后由f（x+8）≥f（x）分段得到a与x的不等关系，分离参数a求得a的范围，取交集得答案．

根据题意，，

当x≥0时，由f（x+8）≥f（x），得|x+8﹣a2|﹣a2≥|x﹣a2|﹣a2，

∴2x+8﹣2a2≥0，即a2≤x+4恒成立，

故﹣2≤a≤2；

当x≤﹣8时，由a2﹣|x+8+a2|≥a2﹣|x+a2|，得|x+8+a2|≤|x+a2|，

∴2x+8+2a2≤0，即a2≤﹣x﹣4恒成立，

故﹣2≤a≤2；

当﹣8＜x＜0时，由|x+8﹣a2|﹣a2≥a2﹣|x+a2|，得|x+8﹣a2|+|x+a2|≥2a2，

∴|a2﹣8+a2|≥2a2，解之得，，

综上，实数a的取值范围是：．

故答案为：．