Question

已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且椭圆长轴的长为4，、是椭圆上的两点；

（1）求椭圆标准方程；

（2）若直线经过点，且，求直线的方程；

（3）若动点满足：，直线与的斜率之积为，是否存在两个定点、，使得为定值？若存在，求出、的坐标；若不存在，请说明理由；

Answer

（1）；（2）；（3）存在，；

【解析】

（1）根据抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且椭圆的长轴长为4，求出，，即可求得椭圆标准方程；

（2）设直线的方程为，，、，，将数量积坐标化，得到关于的方程；

（3）将坐标化，利用直线与的斜率之积为，可计算，从而可知存在两个定点，使得为定值．

（1）抛物线的焦点为，，

椭圆中的，

又由椭圆的长轴为4得，

椭圆的标准方程为：

（2）设直线的方程为，，、，，

将直线方程代入椭圆方程得：，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，解得：，

所以直线方程为：.

（3）设，，、，，

由，可得：，，，

，，

、是椭圆上的点，，．

．

由直线与的斜率之积为，可得：，

即，

，即.

由椭圆定义可知存在两个定点，使得动点到两定点距离和为定值；