Question

如图数表：

每一行都是首项为1的等差数列，第行的公差为，且每一列也是等差数列，设第行的第项为.

（1）证明：成等差数列，并用表示（）；

（2）当时，将数列分组如下：（），（），（），…（每组数的个数构成等差数列）. 设前组中所有数之和为，求数列的前项和；

（3）在（2）的条件下，设是不超过20的正整数，当时，求使得不等式恒成立的所有的值.

Answer

（1）见解析，（2）（3）

【解析】

（1）根据前三行成等差数列得，根据最后一列成等差数列可得，把在第行和第列分别表示出来，可得出关于的表达式；

（2）根据分组的特点结合等差数列前和公式计算，利用错位相减法计算；

（3）把代入不等式，得，引入函数，由函数的单调性可求得使不等式成立的的最小值即可得的取值．

【解析】
(1) 由题意，，且，

得，即

所以成等差数列

由且

即

化简得

(2) 当时，

按数列分组规律，第组中有个奇数，

所以第1组到第组共有个奇数.

则前个奇数的和为，

即，

从而 ，

，①则

，②

①-②得，

∴．

(3) 由得.

令，

当时，都有，即，

而，

且当时，

，即单调递增，故有.

所以，满足条件的所有正整数.