Question

如图，圆与直线相切于点，与正半轴交于点，与直线在第一象限的交点为.点为圆上任一点，且满足，以为坐标的动点的轨迹记为曲线．

（1）求圆的方程及曲线的方程；

（2）若两条直线和分别交曲线于点和，求四边形面积的最大值，并求此时的的值．

（3）根据曲线的方程，研究曲线的对称性，并证明曲线为椭圆．

Answer

（1），；（2）时，四边形的面积最大值为；（3）见解析．

【解析】

（1）由圆半径为圆心到切线距离得圆半径，从而得圆方程，由表示出点坐标代入圆方程可得曲线的方程．

（2）把方程代入曲线的方程求得的坐标，得，同理可得，由得，应用整体换元法结合基本不等式可求得最值（也可变形为，求最值）；

（3）由曲线的方程可得对称性：关于直线对称，关于原点对称，这个方程除右边是常数1外，左边是二次式且为和的形式，与我们所学椭圆的方程类似，因此可假设其为椭圆，再根据椭圆的性质求顶点坐标和焦点坐标，根据椭圆定义证明．

【解析】
（1）由题意圆的半径，

故圆的方程为.

由得，，将代入

得为曲线的方程.

（2）由

得,，

所以，同理.

由题意知 ，所以四边形的面积，.

∵ ，∴ .

当且仅当时等号成立，此时.

∴ 当时，四边形的面积最大值为.

（3） 曲线的方程为，它关于直线、和原点对称，

下面证明：

设曲线上任一点的坐标为，则，点关于直线的对称点为，显然，所以点在曲线上，故曲线关于直线对称，

同理曲线关于直线和原点对称.

证明：求得和直线的交点坐标为，

和直线的交点坐标为，

，，，.

在上取点 .

设为曲线上任一点，则

（因为）

.

即曲线上任一点到两定点的距离之和为定值.

若点到两定点的距离之和为定值，可以求得点的轨迹方程为（过程略）.

故曲线是椭圆