Question

已知点O是四边形内一点，判断结论：“若，则该四边形必是矩形，且O为四边形的中心”是否正确，并说明理由．

Answer

该结论不正确,见解析

【解析】

设O是四边形内一点，过点A作且，连接，过点B作且，连接，，利用平面向量加法的平行四边形法则，可证得点O为与的中点的连线的中点；同理可证得点O也为与的中点的连线的中点，故点O是四边形对边中点连线的交点，且该四边形不一定是矩形.

该结论不正确．

当四边形是矩形，点O是四边形的中心时，必有，反之未必成立．

如图所示，设O是四边形内一点，

过点A作且，连接，则四边形为平行四边形，

设与的交点为M．过点B作且，连接，，

则四边形为平行四边形，

设与交于点N，于是M，N分别是，的中点．

∴，．又，

∴，且点O是公共点，点M，N分别在，上，

故M，O，N三点共线，且点O为的中点，

即点O为与的中点的连线的中点．

同理可证：点O也为与的中点的连线的中点，

∴点O是四边形对边中点连线的交点，且该四边形不一定是矩形．