Question

设正数数列的前n项和为，已知，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若是递增数列，求实数k的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）利用递推公式可得,再与原式作差即可得数列的公差,结合首项, 可求得数列的通项公式.检验时也成立即可.

（2）根据数列的单调递增,可知,将数列的通项公式代入,解不等式即可求得实数k的取值范围.

（1）由已知,

利用递推公式可得

两式相减,

时,

∴,,

因此时,成立

∴数列是等差数列,公差为1,

∴

（2）将代入数列,可得

∵为递增数列

∴对任意正整数n恒成立

即

所以

∴对任意正整数n恒成立

∴

∴实数的取值范围是.