Question

如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，为直角，平面，，且.

（1）求证：；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据平面，得到，根据勾股定理得到，从而得到平面，再得到；（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，平面的法向量，根据向量夹角公式，从而得到求二面角的余弦值.

【解析】
（1）证明：∵平面，

平面，∴.

∵，且，

∴，

∴，

∴，即.

又，平面

∴平面.

又平面，

∴.

（2）如图，过点A作垂直于点F，由（1）知，.

又，

∴两两垂直，

∴以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系，

则，

∴.

设平面的法向量，

由得

∴取.

设平面的法向量，

由得

∴取.

设二面角的平面角为，

则，

由图可知二面角为钝角，

∴二面角的余弦值为.