Question

已知函数，.

（1）证明：当时，；

（2）存在，使得当时恒有成立，试确定k的取值范围.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）构造函数，求导得到，从而得到的单调递减，所以有，从而得到当时，；（2）当时，不存在满足题意，当时，令，利用导数得到单调性，得到，从而得到k的取值范围.

【解析】
（1）证明：由题意知的定义域为，的定义域为，

令，

所以，

当时，，

所以在上单调递减，

故当时，，

即当时，成立.

（2）由（1）知，当时，，

所以当时，不存在满足题意；

当时，

令

，

所以

，

令得，

所以（舍去），

，

因为，所以，

所以当时，，

所以在上单调递增，

所以当时，，

即成立.

综上，k的取值范围为.