Question

设椭圆C的方程为，O为坐标原点，A为椭团的上顶点，为其右焦点，D是线段的中点，且.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C于P，Q两点，分别作轴，轴，垂足分别为E，F，连接，并延长交椭圆C于点M，N两点.

（ⅰ）判断的形状；

（ⅱ）求四边形面积的最大值.

Answer

（1）（2）（ⅰ）为直角三角形（ⅱ）

【解析】

（1）根据题意得到，在求出，得到椭圆标准方程；（2）（ⅰ）先设直线和的方程，分别与椭圆方程联立，得到点的坐标，从而表示出直线的斜率，得到，从而做出判断；（ⅱ）先得到四边形面积是面积的2倍，利用弦长公式得到，，从而表示出的面积，再利用基本不等式得到其最大值，从而得到四边形面积的最大值.

【解析】
（1）设椭圆的半焦距为c.

由题意可得，D为的中点，

∴，

∴，∴，

∴椭圆的方程为.

（2）（1）设直线的方程为，且点P在第一象限，

联立消去y得，

显然，

∴，.

又∵轴，∴，

∴，

∴直线的方程为，

联立消去y得，

，

∴.

∵，

∴，

，

∴，

∴，

即为直角三角形.

（ⅱ）根据图形的对称性可知，四边形面积是面积的2倍，

由（ⅰ）知为直角三角形，且，

∴.

又

，

，

∴

.

令，∵，∴，

∴，而在上单调递增，

所以，所以

即当时，最大，此时的面积也达到最大，

由对称性可知，

故当时，最大，

.